ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ
Базовая комбинаторика
Факториал и комбинаторика: Задача о рассадке в театре

Факториал и комбинаторика: Задача о рассадке в театре

Что такое факториал?

Факториал числа n (обозначается как n!) — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n

Примеры вычисления факториала:

  • 1! = 1
  • 2! = 1 × 2 = 2
  • 3! = 1 × 2 × 3 = 6
  • 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
  • 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

Факториал используется во многих комбинаторных задачах, особенно когда нужно посчитать количество различных способов размещения или выбора элементов.

Применение факториала в комбинаторике:

1. Перестановки (Pn) — количество способов расположить n различных элементов в определенном порядке:

Pn = n!

Это количество различных способов упорядочить n разных объектов.

2. Размещения (An,k) — количество способов выбрать k элементов из n различных элементов и расположить их в определенном порядке:

An,k = n!/(n-k)!

Размещения используются, когда важен как выбор, так и порядок элементов.

3. Сочетания (Cn,k) — количество способов выбрать k элементов из n различных элементов (порядок не важен):

Cn,k = n!/[k!(n-k)!]

Сочетания используются, когда важен только выбор элементов, но не их порядок.

Задача о рассадке в театре

В театре есть 6 мест в одном ряду. Необходимо рассадить 2 девушек и 4 парней с условием, что девушки не могут сидеть на крайних креслах (1-е и 6-е места).

Сколько существует различных вариантов рассадки?

1 Край
2 2
3 3
4 4
5 5
6 Край

Как решать эту задачу?

Для решения нам потребуется разбить задачу на несколько шагов:

  1. Проанализировать, где могут сидеть девушки (учитывая ограничение)
  2. Посчитать количество способов выбрать места для девушек
  3. Определить количество способов рассадить девушек на выбранные места
  4. Определить количество способов рассадить парней на оставшиеся места
  5. Использовать правило умножения для получения общего числа вариантов
Перейдите в раздел "Исследуй", чтобы попробовать разные варианты рассадки самостоятельно, или в раздел "Решение" для подробного объяснения.

Интерактивная рассадка

Попробуйте рассадить 2 девушек и 4 парней. Помните, что девушки не могут сидеть на крайних местах!

1 Край
2 2
3 3
4 4
5 5
6 Край

Расположено: 0 из 4 парней, 0 из 2 девушек

Сколько всего возможных вариантов рассадки?

Введите ваш ответ:

Подсказка: используйте формулы из раздела "Теория" и правило умножения в комбинаторике

Сохраненные комбинации

Здесь вы можете увидеть все сохраненные варианты рассадки и их статистику.

Найдено 0 из 288 возможных комбинаций (0%)
0%
№ Рассадка Девушки на местах Парни на местах Действия
Еще нет сохраненных комбинаций. Создайте их в разделе "Исследуй".

Статистика комбинаций

Статистика появится после сохранения комбинаций.

Решение задачи

Шаг 1: Анализируем ограничения

У нас есть 6 мест, 2 девушки и 4 парня. Девушки не могут сидеть на крайних местах (1 и 6).

Это значит, что девушки могут сидеть только на местах 2, 3, 4 и 5.

1 ❌
2 ✓
3 ✓
4 ✓
5 ✓
6 ❌

Шаг 2: Выбираем места для девушек

Из 4 возможных мест (2, 3, 4, 5) нужно выбрать 2 места для девушек.

C(4,2) = 4!/(2!(4-2)!) = 4!/(2!×2!) = 24/4 = 6 способов

Эти 6 способов: {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}

Шаг 3: Рассаживаем девушек

Когда мы выбрали 2 места для девушек, нужно определить, сколькими способами можно рассадить 2 девушек на эти 2 места.

P(2,2) = 2! = 2 способа

Например, для выбранных мест {2,3}:

  • Девушка 1 на месте 2, Девушка 2 на месте 3
  • Девушка 1 на месте 3, Девушка 2 на месте 2

Шаг 4: Рассаживаем парней

После того, как девушки заняли свои места, остаются 4 места для 4 парней. Число способов рассадить 4 парней на 4 места равно количеству перестановок из 4 элементов:

P(4,4) = 4! = 24 способа

То есть парней можно рассадить 24 разными способами на оставшиеся места.

Шаг 5: Применяем правило умножения

По правилу умножения в комбинаторике, общее количество вариантов равно произведению количества вариантов на каждом шаге:

C(4,2) × P(2,2) × P(4,4) = 6 × 2 × 24 = 288

Таким образом, существует 288 различных вариантов рассадки.

Альтернативное решение

Можно также решить эту задачу, используя принцип включения-исключения:

1. Общее количество способов рассадить 6 человек на 6 мест без ограничений:

6! = 720

2. Вычтем количество вариантов, где хотя бы одна девушка сидит на крайнем месте:

• Варианты с одной девушкой на крайнем месте:

C(2,1) × C(2,1) × P(2,1) × P(4,4) = 2 × 2 × 1 × 24 = 96 × 4 = 384

Выбираем 1 девушку из 2, выбираем 1 крайнее место из 2, размещаем девушку и размещаем 4 парней на оставшиеся места

• Варианты с двумя девушками на крайних местах:

C(2,2) × P(2,2) × P(4,4) = 1 × 2 × 24 = 48

Выбираем обеих девушек, размещаем их на крайних местах и размещаем 4 парней на оставшиеся места

• Всего неподходящих вариантов:

384 + 48 = 432

3. Количество подходящих вариантов:

720 - 432 = 288

Ответ: 288 различных вариантов рассадки

P(2,1) × P(4,4) = 2 × 2 × 1 × 24 = 96 × 4 = 384
  • Варианты с двумя девушками на крайних местах:
    C(2,2) × P(2,2) × P(4,4) = 1 × 2 × 24 = 48
  • Всего неподходящих вариантов: 384 + 48 = 432
  • Количество подходящих вариантов: 720 - 432 = 288

    • Ответ: 288 различных вариантов рассадки

    Вернуться к теме