Перетащите элементы из соответствующих зон на сетку комбинаций ниже, чтобы создать все возможные комбинации:
Это упражнение иллюстрирует правило умножения в комбинаторике: если у вас есть n рубашек и m брюк, то количество возможных комбинаций равно n × m.
В данном случае, если вы выберете 3 рубашки и 2 пары брюк, то получите 3 × 2 = 6 различных комбинаций одежды.
Представьте карту с тремя городами: A, B и C. Все маршруты из A в C должны проходить через город B.
С помощью кнопок ниже вы можете:
Обратите внимание, как количество маршрутов соответствует произведению количества дорог: A→B × B→C
Количество маршрутов = количество дорог A→B × количество дорог B→C
Добавьте дороги между городами, чтобы увидеть возможные маршруты.
Согласно правилу умножения в комбинаторике: если первое действие можно выполнить n способами, а второе действие после этого - m способами, то оба действия вместе можно выполнить n × m способами.
В нашем примере:
Это правило универсально и применяется во многих областях, от вероятностей до планирования.
Факториал числа n (обозначается как n!) — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.
Факториал используется во многих комбинаторных задачах, особенно когда нужно посчитать количество различных способов размещения или выбора элементов.
1. Перестановки (Pn) — количество способов расположить n различных элементов в определенном порядке:
Это количество различных способов упорядочить n разных объектов.
2. Размещения (An,k) — количество способов выбрать k элементов из n различных элементов и расположить их в определенном порядке:
Размещения используются, когда важен как выбор, так и порядок элементов.
3. Сочетания (Cn,k) — количество способов выбрать k элементов из n различных элементов (порядок не важен):
Сочетания используются, когда важен только выбор элементов, но не их порядок.
В театре есть 6 мест в одном ряду. Необходимо рассадить 2 девушек и 4 парней с условием, что девушки не могут сидеть на крайних креслах (1-е и 6-е места).
Сколько существует различных вариантов рассадки?
Для решения потребуется разбить задачу на несколько логических шагов:
Попробуйте рассадить 2 девушек и 4 парней. Помните, что девушки не могут сидеть на крайних местах!
Расположено: 0 из 4 парней, 0 из 2 девушек
Здесь вы можете увидеть все сохраненные варианты рассадки и их статистику.
| № | Рассадка | Девушки на местах | Парни на местах | Действия |
|---|---|---|---|---|
| Еще нет сохраненных комбинаций. Создайте их в разделе "Интерактив". | ||||
Статистика появится после сохранения комбинаций.
У нас есть 6 мест, 2 девушки и 4 парня. Девушки не могут сидеть на крайних местах (1 и 6).
Это значит, что девушки могут сидеть только на местах 2, 3, 4 и 5.
Из 4 возможных мест (2, 3, 4, 5) нужно выбрать 2 места для девушек.
Эти 6 способов: {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}
Когда мы выбрали 2 места для девушек, нужно определить, сколькими способами можно рассадить 2 девушек на эти 2 места.
Например, для выбранных мест {2,3}:
После того, как девушки заняли свои места, остаются 4 места для 4 парней. Число способов рассадить 4 парней на 4 места равно количеству перестановок из 4 элементов:
То есть парней можно рассадить 24 разными способами на оставшиеся места.
По правилу умножения в комбинаторике, общее количество вариантов равно произведению количества вариантов на каждом шаге:
Таким образом, существует 288 различных вариантов рассадки.
Можно также решить эту задачу, используя принцип включения-исключения:
1. Общее количество способов рассадить 6 человек на 6 мест без ограничений:
2. Вычтем количество вариантов, где хотя бы одна девушка сидит на крайнем месте:
Варианты с одной девушкой на крайнем месте:
Варианты с двумя девушками на крайних местах:
Всего неподходящих вариантов:
3. Количество подходящих вариантов:
Ответ: 288 различных вариантов рассадки
Нажмите на символы, чтобы переключаться между буквами, цифрами и пустыми значениями:
Все возможные комбинации из цифр (0-9) и строчных букв латинского алфавита (a-z).
Комбинации, содержащие хотя бы одну цифру (0-9).
Комбинации, в которых ни одна буква не повторяется.
Принцип Дирихле (также известный как принцип ящиков или принцип голубятни) гласит:
Если n+1 или больше объектов распределить по n ящикам, то хотя бы в одном ящике будет не менее двух объектов.
В общем случае: Если N объектов распределить по K ящикам, то хотя бы в одном ящике будет не менее ⌈N/K⌉ объектов (где ⌈x⌉ означает округление вверх).
Минимальное количество объектов, которое гарантированно будет хотя бы в одном ящике.
Если распределение максимально равномерное, то даже в самом пустом ящике будет это количество объектов.
Максимальное количество объектов, которое сейчас находится в одном ящике.
Если n+1 объектов распределены по n ящикам, то по принципу Дирихле должен быть хотя бы один ящик, содержащий не менее 2 объектов.
Доказательство от противного: предположим, что в каждом ящике не более 1 объекта. Тогда всего может быть размещено максимум n объектов. Но у нас n+1 объектов, что приводит к противоречию.
Если N объектов распределены по K ящикам, то существует хотя бы один ящик, содержащий как минимум ⌈N/K⌉ объектов (округление вверх).
Доказательство: если бы в каждом ящике было не более ⌈N/K⌉-1 объектов, то общее количество объектов было бы не более K × (⌈N/K⌉-1) < N, что противоречит условию.
При распределении N объектов по K ящикам также существует ящик, содержащий не более ⌊N/K⌋ объектов (округление вниз).